22考研函数与反函数(考研特殊函数)

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【每日精讲栏目】里的知识点主要来自宇哥的《基础30讲》的内容，希望这些硬核的干货分享，对你们初级阶段的学习有很大的 助。小可爱们碎片化的时间里，常来这里学习哦~接下来我们进入主题吧~

1.函数的定义
设x与y是两个变量,d是一个给定的数集,若对于每个值x∈d,按照一定的法则f,有一个确定的值y与之对应 ,则称y为x的函数,记作 y=f(x)。称x为自变量,y 为因变量。称数集d为此函数的定义域，定义域一般由实际背景中变量的具体意义或者函数对应法则的要求确定。

对于函数的定义大家一个不陌生，我在这里想提醒你注意的是因变量y具有唯一性，如果y没有唯一性，那就不属于函数的定义了。

2.反函数的定义
设函数y= f(x)的定义域为d,值域为r。如果对于每一个y∈r,必存在唯一的x∈d使得y= f(x)成立，则由此定义了一个新的函数x=φ(y).这个函数就称为函数y= f(x)的反函数,一般记作x=f^-1(y),它的定义域为r,值域为d。相对于反函数来说,原来的函数也称为直接函数。以下两点需要说明：

第一，严格单调函数必有反函数。
第二，若把x=f^-1(y)与y=f(x)的图形画在同一坐标系中,则它们完全重合。只有把y= f(x)的反函数x=f^-1(y)写成y=f^-1(x)后,它们的图形才关于y=x对称,事实上这也是字母x与y互换的结果。

易错点：y=f(x)与x=f^-1(y)的图像一致，y=f(x)与y=f^-1(x)关于y=x对称，要注意两者的区别。

例1.1.1
设f(x)=x²,f[φ(x)]=-x²+2x+3,且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域与值域。

例1.1.2
求函数y=f(x)=in[x+√(x+1)]的反函数f^-1(x)的表达式及其定义域。