??2021考研数学真题题2如图
本题查询函数在某点可导的充分或必要条件。咱们先回想下导数的界说，实际上导数就是研讨函数在某点处的改变率疑问，是经过因变量的改动量和自变量的改动量的比值的极限制义出来的。这儿关于入门高数有个秒杀技巧，即直接去掉界说中的函数符号f算得的极限值为1，即在该点处导数的1倍，有关题型暂略今后弥补。
已然导数是经过极限制义所得，这就意味着查询某点处可导性时要分支配来谈论，即左导数和右导数的
有关界说方法，可参阅上图批改δx的改变趋势。可导的充要条件也就体现为，支配导数都存在且相等。如图
与此一起，有定理撑持称，可导必接连，但接连未必可导，常用的特列为必定值函数如|x|。从几许意义上来看，接连指的是无断点，而可导指的是无尖点。
具有上述基础后，咱们就可以来秒杀本题。
关于选项a和b，是谈论能否变成可导的充分条件。当x趋于0时，选项a中的|x|和选项b中的x^2体现为仅从右侧趋于0，而单侧是无法变成可导的充分条件的。当然，也可以使用“可导必接连”这个原理来写出反例，比方取分段函数当x≠0时f=x^3可满足a和b，但取f(0)≠0即在0点接连，不接连必定是不可以导的。
关于选项d，也可以经过举反例直接打扫。比方f=x在0点可导，但f/x^2=1/x趋于无量大。已然已打扫abd，那本题的正确答案就是c，下面咱们来证明c。
证明办法1根据导数的界说，已然函数f在0点处可导，可写出在0点处导数的界说，进而将欲核算的极限进行变换，如图：
证明办法2使用泰勒公式，即
附注泰勒公式
写在最终的话：关于选项b而言，条件只能阐明函数比x^2高阶，无法断定在0处是不是有意义或许是不是接连，即若0是接连点必定是不可以导的。对选项c而言，若函数在0处可导，则函数必定是比x高阶的无量小量，当然也就比x^{1/2}高阶。????
