1、xf(t)dt0的()x2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.设函数f(x)在区间1,1上连续，则x0是函数g(x)a跳跃间断点c无穷间断点b可去间断点d振荡间断点(2)如图，曲线段方程为yf(x),函数在区间0,a上有连续导数，则a定积分oxf(x)dx等于()a曲边梯形abod面积.b梯形abod面积.c曲边三角形acd面积.d三角形acd面积.设f(x,y)exy，则函数在原点偏导数存在的情况是()afx(0,0)存在，fy(0,0)存在cfx(0,0)
2、不存在，fy(0,0)存在(4)设函数f连续.若22fxyfu,v-22dxdy,duv/xy其中区域duv为图中阴影部分，则上()ubfx(0,0)存在，fy(0,0)不存在dfx(0,0)不存在，fy(0,0)不存在dea可逆,ea不可逆.maxx,y分布函数为(aea不可逆,ea不可逆.avfu2b-fu2cvfud-fu(5)设a为n阶非u。矩阵e为n阶单位矩阵者a3。，则()ubea不可逆，ea可逆.cea可逆,ea可逆.设a122则在实数域上与1a合同的矩阵为2121a1b21.22112c1d22.1(随机变量x,y独立同分布，且x分布函数为fx,则zaf2x.2c11fx1,4
3、且相关系数xy1,则()(8)随机变量xn0,1,ynbpy2x11.apy2x11cpy2x11dpy2x11.二、填空题:9-14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上2×1,c设函数f(x)2在(,)内连续，则c.切,xc(10)函数f1x3x，求积分2学x-42fxdx.x1x(11)设d(x,y)|2x2y1,则(x2y)dxdyd微分方程xyy0,y(1)1,求方程的特解y一1一设3阶矩阵a的特征值为1,2,2,e为二阶单位矩阵，则4ae2（14）设随机变量x服从参数为1的泊松分布，则pxex三、解答题:15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解
4、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限lim2insinx.x0xx（16）（本题满分10分）设zz（x,y）是由方程设zz（x,y）是由方程yz所确定的函数，其中具有2阶导数(ii)1,求dz记ux,y，求x(17)(本题满分11分)计算maxxy,1dxdy,其中dd(x,y)0x2,0y2（18）（本题满分10分）设fx是周期为2的连续函数，证明对任意实数t都有dxfxdx(ii)证明gxx2f0sdsdt是周期为2的周期函数.（19）（本题满分10分）设银行存款的年利率为r第一年提取19万元，第二年提取下去，问a至少应为多少万元？0.05,并依年复利计算.
5、某基金会希望通过存款a万元实现28万元，,第n年取出（10+9n）万元，并能按此规律一直提取（20）（本题满分12分）设n元线性方程组axb,其中a2a1x112a2ax20,x,b-证明行列式an.1:2a2annxn01an；(ii) 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求*；(iii) 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10分)设a为3阶矩阵，1,2为a的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足a323.(1)证明1，2，3线性无关；令p1，2，,13，求pap.(22)(本题满分11分)设随机变量x与y相互独立，x概率分布为px11-3i1，0，1，y的概率密
6、度为fyy10y0其它1，记zxy.求:pz-2×0;(ii)z的概率密度fz(z).(23)(本题满分11分)设x1，x2，、xn是总体n(2、，)的简单随机样本.记x1nxini1，s21(xin1i12_x)，t212xs2n2证明t是的无偏估计量;(ii)当0,1时，求dt.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题【答案】b【详解】limg(x)lim-x0x0xxf(t)dt!lim0所以x0是函数g(x)的可去间断点.【答案】caa【详解】oxf(x)dxoxdf(x)xf(x)0a0f(x)dxaf(a)a0f(x)dxa其中af(a)是矩形aboc面积，0f
7、(x)dx为曲边梯形abod的面积，所以axf0(x)dx为曲边三角形的面积.【答案】c【详解】fx(0,0)x10xlim0x0xe1小1lim1,limx0xx0x1xelimx0xxelimx0x204e1故fx(0,0)不存在.fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)ey21limy0y忡0所以fy(0,0)存在.故选(4)【答案】a【详解】用极坐标得所以fu,v2vdudv2vvdv0urdr11u21f(r2)dr(5)【答案】c【详解】(ea)(eaa2)a3e,(ea)(eaa2)ea3故ea,ea均可逆.【答案】【详解】记122ea1214,又2121，所以a和d相似.由
8、于实对称矩阵相似必合同ed所以a和d有相同的特征多项式，所以a和d有相同的特征值.又a和d为同阶实对称矩阵，故d正确.【答案】a【详解】fzzpzz【详解】fzzpzz【详解】fzzpzzpmaxx,yzpxzpyzfzff2z(8)【答案】d(8)【答案】d(8)【答案】d【详解】用排除法.设yaxb,由xy1,知道x,y正相关，得a0,排除由xn(0,1),yn(1,4)由xn(0,1),yn(1,4)由xn(0,1),yn(1,4)，得ex0,ey1,所以e(y)e(axb)aex1,所以b1.排除b.故选择d【详解】由题设知c|x|0,所以f(x)2×1,cxc2/x,xc因为limf
9、xxclim(x21)xcc21,limxcfxlimxc22xc又因为f(x)在(,)内连续，f(x)必在xc处连续所以limfxlimfxf(c),即2c12c12x,cxc、填空题【答案】1xcxc(10)【答案】2ln3【详解】f1xx1x1xx1-xxx,得tt22所以dx2x2%x【in2in61in2-in32(11)【答案】-41cc【详解】(xy)dxdy利用函效向偶性xdxdyxydxdy1r2rdr01(12)【答案】y-x【详解】由，两端积分得dxx01(12)【答案】y-x【详解】由，两端积分得dxx1(12)【答案】y-x【详解】由，两端积分得dxx1(12)【答案
10、】y-x【详解】由，两端积分得dxxinylnxci，所以cx,又y(1)1,所以(13)【答案】3【详解】a的特征值为1,2,2,所以a1的特征值为1,12,1/2,所以4a1e的特征值为4113,41/211,41/211所以4a1e3113(14)【答案】所以4a1e3113(14)【答案】(14)【答案】(14)【答案】1-e2【详解】由【详解】由【详解】由dxex2(ex)2,得ex2dx(ex)2,又因为x服从参数为1的泊松分布，所以dxex1,所以ex212,所以12e2三、解答题(15)【详解】sinxsinx1方法一:liminx0xx1lim二inx0x2sinx1xsin
11、xxlim3x0x31sinx方法一:limln洛必达法则limx0xx二x0cosxlim2x03x2sinxlimx06xxcosxsinx2x2sinxlimx0xcosxsinx2x3一(16)【详解】(i)2xdx2ydydzxyzdxdydz所以dz1dz2xdx2ydy2xdx2ydy1(ii)由上一问可知x所以ux,y12xxy(12xz2y2y2x21)xy1122(1孳)1212(12×312(12x)31(17)【详解】曲线xy1将区域分成两个区域d1和d2d3，为了便于计算继续对区域分割，最后为maxxy,1dxdydxydxdydxdydxdyd1d2d3202dx1
12、dy21dx0x1dy212ln2154in2222dxxydy2x194in2t2fxtdx0ftxdx2f0令x2u，则t2f2xdxtf0t所以t2fxdx0fxtdx(18)【详解】方法一:(i)由积分的性质知对任意的实数t(ii)由知，对任意的t有；2fxxdxfxdx22udutfudu00ftxdx2f0xdx0fxdxt2f0xdxdx2fx02dx，记a0fxdx，则t2xg(x)20fuduax.所以，对任意的x,g(x2)g(x)x22ofudua(x2)2duaxudu22a2fudu2a00所以gx是周期为2的周期函数.方法二:（i）设f(t)t2tf(x)dx,由于
13、f(t)f(t2)f(t)0,所以f（t）为常数，从而f(t)f(0).而f(0)f(x)dxf(t)2of(x)dx,即22f(x)dx0f(x)dx.方法一:设为用于第n年提取（109n）万元的贴现值，则tta（ii）由知，对任意的tt有t22fxdx02fxdx,记a0fxdx，则xg(x)2fuduiax,g(x2)x220fudua(x2)由于对任意x,g（x2)2f(x2)a2f(x)a,g(x)2f(x)所以g(x2)g(x)0,从而g(x2)g(x)是常数即有g(x2)g(x)g(2)g(0)0所以gx是周期为2的周期函数.（19）【详解】(1r)n(109n)an1s(x)n
14、nx109n1(1nr)10一n1(11,1)1、nr)9nn200(1r)n1(1r)n因为s(x)x(xn)n1所以s(1)s(1r1.c故a20094201n)420(万元)3980（万元），即至少应存入x(1jm)2x(1x)x(1,1)3980万元.方法二:设第t年取款后的余款是yt，由题意知yt满足方程yt(10.05)yti(109t)，即yt1.05yti(109t)(1)对应的齐次方程yt1.05yt10的通解为ytc(1.05)t-*设(1)的通解为ytatb,代入(1)解得a180,b3980所以(1)的通解为ytc(1.05)t180t3980由y0a,%0得c3980
15、故a至少为3980万元.(20)【详解】证法一:2a2a2a1rn证法二:记dn2a2a2a2a3a22aarn1n4a31r2ar123a012a22a1a22a(n1)an|a|,下面用数学归纳法证明1时,d12a，结论成立.2时,d22a1a22a假设结论对小于c3a2a24a3(n1)an(n1)andn(n1)an.3a2,结论成立.n的情况成立.将dn按第1行展开得证法三:(ii)dn2adn2adn|a|(n2a102a2a12aa2dn22anan1a22aa2(n1)an2(n1)an1)andn2adn1a2dn|a|,将其按第一列展开得记dn所以dnadn1adn1a2d
16、n22a(dn2adn3)n-a即dnnaadn1ana(ana(dm2(d2ad)an-(n2)an1adn2)2annn1(n1)aa因为方程组有唯一解，所以由由克莱姆法则12a2a所以x1(iii)adn2)a2dn2_n2n_n1ad2(n1)aa2a(n1)anaxb知a0,又a，将dn的第1列换成b，得行列式为12a12adi(n1)an,故a0.dn1dnn(n1)a方程组有无穷多解，由a2a2a12a1a22a12a(n1)(n1)0,有a0,则方程组为n1dn1na此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为tk10000x11x2001xn100xn0n1,所以方程组有无穷多解
17、，其通解为t100,k为任意常数.(21)【详解】(i)证法一:假设2,3线性相关.因为证法一:假设2,3线性相关.因为证法一:假设2,3线性相关.因为1,2分别属于不同特征值的特征向量，故1,2线性无关，则3可由1,2线性表出，不妨设性无关，则3可由1,2线性表出，不妨设性无关，则3可由1,2线性表出，不妨设312,其中、,板不全为零(若l1,l2同时为0,则3为0,由a323可知20,而特征向量都是非0向量，矛盾)a11,a22a3232l11l22,又a3a(l11l22)l11l22i11i222122,整理得:212。则1,2线性相关，矛盾.所以，1,2,3线性无关.证法二:设存在数
18、k1,k2,k3,使得k,1k22k330用a左乘(1)的两边并由a11,a22得k3)2k3)2一得2k11k320因为1,2是a的属于不同特征值的特征向量,所以因为1,2是a的属于不同特征值的特征向量,所以因为1,2是a的属于不同特征值的特征向量,所以1,2线性无关，从而kk30,代入得k220,又由于20，所以k20,故1,2,3线性无关.(ii)记p(1,2,3)，则p可逆,apa(1,2,3)(a1,a2,a3)(1,2,23)100100100(1,2,3)011p011001001所以p1ap（22）【详解】1p(z12x_1vcd/vvvc，21p(y-)2u)r(/i21u)
19、p(x0)(ii)fz(z)pxpzz)pxyz,x1)ypxz)yz,x0)pxyz,xpyz1,x1)pyz,x0)pyz1,x1)pyz1)px1)pyz)px0)pyz1)px1)1)1021dy所以1-py31fy(z3z1)p(yz)1)fy(z)fy(zpy1)1)fz(z)fy(z1)fyfy(z1)13,0,其它(23)【详解】（i）因为xn（,因为2e(t)e(x一一2dx(ex)1s2)in1e(s2)n2ex1e(s2)n所以，t是_2_2),所以x-n(,)，从而exn的无偏估讨(ii)方法一:d(t)et2(et)2,e(t)0,e(s2)所以d(t)et2422e(x-xns2w)n4e(x)2ztt-2、一小2、-e(x)e(s)nwe(s4)n因为xn（0,1）,所以1n(0,),n1有ex0,dx-,exdxex4所以e(x)d(x22)e(xd(x)e2(x)d(x)es4es22ds2(es2)2ds2因为w(n1)s22(n_221)s2-2(n1）所以dw2(n1)，又因为dw(n1)2ds2,所以ds2，所以es4(n1)所以et2n1n(n1)方法二:当0,d(t)212d(x2s2)n2.（注意x和s独立）dx211kd(n_21)s212n(n1)2(n1)2n(n1)
