压轴题:
设在上面一致连续,且对任意的,存在,证明:
存在
分析:该题的通俗表达为。若函数一致连续,且函数在某种趋于无穷的点列极限存在,不妨设为,那么函数在无穷远极限存在。而我们工具比较少,所以很自然的相信无穷远的极限就是点列的极限。
所以目标为估计:
证明:
由于在上面一致连续。
我们有。
针对该固定的,由条件有存在,不妨记为。
于是时有,
现取,
当时,取,容易验证:
且,
于是根据一致连续和极限的定义我们得到:
这证明了极限存在。
注记:在清华某讲义习题中,这道题的条件减弱为连续,难度直接变大很多。需要比较强大的分析工具才能做。